10 ερωτήσεις κρίσης στο στερεό

10 ερωτήσεις, λίγο μαθηματικές βέβαια

1. Κοίλη σφαίρα (Ι1=2mR2/3) και συμπαγής σφαίρα (Ι2=2mR2/5) ίσων μαζών και ακτίνων περιστρέφονται γύρω από ένα άξονα συμμετρίας τους με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω.

Ι. Οι ροπές που απαιτούνται για να τις σταματήσουν στο ίδιο χρονικό διάστημα είναι τ1 και τ2 αντιστοίχως και ισχύει:

α. τ1/τ2=1                       β. τ1/τ2=5/3                    γ. τ1/τ2=3/5

 ΙΙ. Οι ενέργειες που πρέπει να δαπανηθούν για να τις σταματήσουν είναι W1 και W2 αντιστοίχως και ισχύει:

α. W1/W2=1                       β. W1/W2=5/3                    γ. W1/W2=3/5

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

2.  Ομογενής σφαίρα, βάρους mg, ακτίνας R και ροπής αδράνειας Ιcm=0,4mR2 αφήνεται από το σημείο, Α κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ=300. Τη στιγμή που η σφαίρα ξεκινάει το κέντρο μάζας της βρίσκεται σε ύψος h πάνω από οριζόντιο επίπεδο (ε). Στο επίπεδο (ε) θεωρούμε ότι η δυναμική ενέργεια βαρύτητας είναι μηδέν. Η σφαίρα  κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.  Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν και αφορούν τη σφαίρα είναι σωστές και ποιες λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

 

α. Η στατική τριβή έχει μέτρο Τ=mg/7.

β. Η μηχανική ενέργεια της σφαίρας είναι συνεχώς ίση με mgh.

γ. Η στροφορμή της σφαίρας αυξάνεται με ρυθμό dL/dt=7mgR.

δ. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας αυξάνεται ανάλογα με το χρόνο.

στ. Ο λόγος της μεταφορικής προς την περιστροφική κινητική ενέργεια διατηρείται σταθερός ίσος με 0,4.

3. Δύο ομογενείς και συμπαγείς σφαίρες ίδιας μάζας m1=m2=m με ακτίνες R1=R και R2=2R αντιστοίχως, αφήνονται ταυτόχρονα από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου να κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. Αφού τα κέντρα μάζας τους διανύσουν την ίδια απόσταση φτάνουν στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Όταν φτάνουν στη βάση ισχύει:

Ι. Για τις κινητικές  ενέργειες:                 α. Κ1=2Κ2      β. Κ2=2Κ1      γ. Κ1=Κ2

ΙΙ. Για τις ταχύτητες υ του κέντρου μάζας: α. υ1=2υ2        β. υ2=2υ1        γ. υ1=υ2

ΙΙΙ. Για τους χρόνους που χρειάστηκαν:    α. t1=2t2         β. t2=2t1          γ. t1=t2

ΙV. Για το πλήθος των περιστροφών :  α. Ν1=2Ν2      β. Ν2=2Ν1      γ. Ν1=Ν2

Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.

Η ροπή αδράνειας της σφαίρας είναι Ιcm=0,4miRi2.

4.  Η τροχαλία έχει μάζα m ακτίνα R και ροπή αδράνειας Ιcm=0,5mR2. Το σώμα έχει μάζα m και αφήνεται τη χρονική στιγμή t0=0 να πέφτει, ενώ το νήμα δεν ολισθαίνει μέσα στο λούκι της τροχαλίας.

Να βρεθούν οι ρυθμοί μεταβολής της κινητικής ενέργειας σε συνάρτηση με το χρόνο για την τροχαλία, το σώμα και το σύστημα.

5. Αθλητής που κρατάει δύο αλτήρες σε έκταση κάθεται σε περιστρεφόμενο σκαμπό και περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα χωρίς τριβές. Ο αθλητής φέρνει τους αλτήρες κοντά στο σώμα του με αποτέλεσμα η ροπή αδράνειας του συστήματος να περιορίζεται στο μισό της αρχικής τιμής της. Η κινητική ενέργεια του συστήματος:

α. Μένει σταθερή       β. Διπλασιάζεται    γ. Υποδιπλασιάζεται       δ. Τετραπλασιάζεται

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

6. Ο δίσκος μιας παιδικής χαράς περιστρέφεται γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Στο δίσκο δεν ασκείται καμιά εξωτερική ροπή. Ένα παιδάκι μετακινείται την περιφέρεια του δίσκου προς το κέντρο. Η κινητική ενέργεια του συστήματος:

α. Αυξάνεται    β. Μειώνεται        γ. Μένει σταθερή

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

7. Διάπυρη σφαίρα πέφτει κατακόρυφα μέσα σε σταθερό βαρυτικό πεδίο ενώ ταυτόχρονα περιστρέφεται. Επειδή ψύχεται, συστέλλεται και η ακτίνα της μειώνεται, ενώ η μάζα και το σχήμα μένουν τα ίδια. Οι τριβές με τον αέρα θεωρούνται αμελητέες.

α. Πως μεταβάλλεται η στροφορμή της σφαίρας;

β. Πως μεταβάλλεται η γωνιακής της ταχύτητα;

γ. Διατηρείται ή όχι η μηχανική ενέργεια της σφαίρας;

δ. Πως μεταβάλλεται η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής της σφαίρας;

Να αιτιολογήσετε πλήρως τις απαντήσεις σας.

 

8.  Ο δακτύλιος του σχήματος έχει μάζα Μ, ακτίνα R και όλη του τη μάζα του συγκεντρωμένη στην περιφέρεια. Ο δακτύλιος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, αλλά αρχικά είναι ακίνητος. Το βλήμα μάζας m=Μ/3 έρχεται με οριζόντια ταχύτητα, και κινητική ενέργεια, Κ και σφηνώνεται στο σημείο Α του δακτυλίου, ακαριαία. Η απώλεια της κινητικής ενέργειας λόγω της πλαστικής κρούσης είναι:

α. Κ/2           β. Κ/4          γ. 3Κ/4

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

9. Ο κύλινδρος του σχήματος έχει μάζα Μ ακτίνα R και ροπή αδράνειας ως προς τον κύριο άξoνα περιστροφής του Ι=0,5ΜR2. Λεπτό και αβαρές νήμα είναι τυλιγμένο γύρω του. O κύλινδρος αρχίζει τη χρονική στιγμή t0=0, να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, από την ηρεμία  υπό την επίδραση σταθερής δύναμης μέτρου F, που ασκείται στο άκρο του νήματος Ζ, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Ι. Η οριζόντια μετατόπιση του σημείου Ζ μέχρι ο κύλινδρος να ολοκληρώσει δύο περιστροφές είναι:

α. 4πR                  β. 8πR          γ. 2πR

ΙΙ. Το έργο της δύναμης F από τη χρονική στιγμή t0=0 έως τη χρονική στιγμή t1 που ολοκληρώνεται η δεύτερη περιστροφή του κυλίνδρου είναι, W:

α. 4πFR   β. 8πFR           γ. 16πFR

ΙΙΙ. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του κυλίνδρου τη χρονική στιγμή t1 είναι:

                     α.  2F2t1/3m     β. 4F2t1/3m,  γ. 8F2t1/3m    

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

10.  Mια μπάλα του μπιλιάρδου έχει μάζα Μ, ακτίνα R και ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα του κέντρου μάζας Ι=2ΜR2/5. H μπάλα δέχεται απότομο χτύπημα σε ύψος h από το κέντρο της και αποκτά αμέσως γωνιακή και μεταφορική ταχύτητα. Το ύψος h στο οποίο χτυπήθηκε η μπάλα ώστε να αρχίσει αμέσως να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει είναι:

α. R                    β. 2R/5                     γ. R/5

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.